小小數學博物館:101個最經典的數學提問+最具創意的解答
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作者:阿爾貝希特.波依特許巴赫
繪者:陳怡今
譯者:劉叔秋
出版社:天下雜誌 出版日期:2014-11-04
適讀:7-12歲,13-18歲
學習領域:數學、自然與生活科技、綜合活動
推薦理由
吳美環:陣容堅強的臺大醫師群放下醫學艱深的用詞,以同理心進入孩子的世界,把專精的醫學知識組織成一個你我心中都曾有過的孩子國。在這個孩子國內,身體是一座城市,器官各自發揮其特有的功能,又緊密連結,層層抽絲剝繭,故事緊湊新鮮有趣。
吳文德:認識人體構造和生命運作,竟然可以寫得這麼有趣,真是一套特別、有創意的科普好書哩!
老ㄙㄨ老師:在「巴第市」裡,有智慧的巴市長正指揮著身體各部門,進行一場又一場抵抗外來怪客與間諜的大作戰呢!這套書透過孩子的語彙,以及生動的插圖、爆笑的旅遊指南與市政信箱,來引導孩子學習正確的醫學常識,也學到如何照顧好自己的身體。
小熊媽:台大醫師們聯手寫的科普書,意外地不沉悶反而幽默有趣,配上可愛到會心一笑的插畫,讓孩子學科學又多了個好教材!要按100個讚~
本書介紹

0是偶數還是奇數?為什麼負負得正?

「化圓為方」行得通嗎?數學竟然可以證明上帝的存在!?

本書收集來自世界各地101道最重要的數學提問,

在這些五花八門的問題背後,隱藏著數學最重要的原理,

走進小小數學博物館,你將會認識數學以及整個宇宙,大大開啟你的數學腦!

 

「讓人產生最大樂趣的,應該是學習,而不是知識,

           是追尋而不是擁有,是過程而不是結果。」——高斯

 

  位於德國基森的知名數學博物館,每年都有來自世界各地的遊客參訪,人們透過館內的各項設施,動動腦,試試看,自然而然的發現數學,進而學習數學知識及釐清數學概念。雖然數學館沒有方程式和多項式,很少提到數學史,也幾乎沒有文字說明,訪客卻在動手做的過程中驚喜連連,問題不斷。

  館長阿爾貝希特.波依特許巴赫(Albrecht Beutelspacher)本身是一位數學家,經常得要回答讀者們的提問,他集結了多年來的提問與解答,整理出了101道最重要的數學提問,每一個看似五花八門、不登大雅之堂的問題,卻都指向了數學史的某個里程碑、或最重要的數學原理、甚至是數學素養。

  透過趣味橫生的提問以及風趣幽默的回答中,讀者能重新體會數學的樂趣,進入數學大師的腦袋中,了解他們為何思索這些問題。回到數學發展的歷史中,重新看見數學原理被提出的背景,更能發現原來數學不僅是科學發展的基石,甚至能夠描繪遙遠的宇宙與超自然的現象。

  本書透過嚴謹的審定與仔細的分類,緊密扣合著數學學習的各階段,分為趣味篇與挑戰篇,讀者可以依照自己的喜好與程度,逐篇觀賞,或者跳篇閱讀,都能充分享受數學的樂趣。

 

  走進小小數學博物館,重新打造你的數學腦,你會發現,數學不容易,但也沒有想像中的難,而且比你想的還好玩喔!

 

小小數學博物館的數學名言錄

˙數學就是我們認知工具的延伸,當碰到理解極限時,數學能幫我們往前走下去。

˙數學能讓我們用另一個角度看世界。

˙數學是文化的一部份,就跟語言一樣,我們也是透過已經會數學的人來進入數學領域。所以學習數學應該跟語言一樣,透過反覆嘗試與練習,而不是直接告訴他們該怎麼做。

˙雖然數學充滿冷冰冰的邏輯跟嚴格的規則,但在面對艱難的情境時,卻往往無堅不摧。

 

作者序

文/阿爾貝希特.波依特許巴赫

  位於基森的「數學館」(Mathematikum)是一座數學的「互動式博物館」,從2002年開幕後每年都吸引15萬名左右的訪客,在館內150個展覽點,不管是解數學題、用肥皂泡泡作實驗或是探索自己身體的黃金比例,都讓大人小孩玩得不亦樂乎。經由這些活動每個人自然而然的發現數學,動動腦,試試看,進而學習數學知識及釐清數學概念。

  雖然數學館沒有方程式和多項式,也很少提到數學史,也幾乎沒有文字說明,訪客卻在動手做的過程中驚喜連連,問題不斷。我自己常常被當面提問,除了面對面之外,有些人是透過電子郵件或甚至寫信。

  大家的問題包羅萬象,有些是關於數學的本質:簽中一次大樂透的機會有多大?棋盤上會有多少粒米?「費馬最後定理」是什麼?

  有些則是數學史的問題:「0」是什麼時候出現?為什麼諾貝爾獎沒有數學獎?什麼是「希伯特的問題」?

  有些問題容易回答:一張A4紙有多大?13是不吉利的數字嗎?等於多少?

  有些問題超難回答:凡事都可以證明嗎?一定要用公式嗎?為什麼負負得正?

  有些問題已經超越數學領域:外星人能了解我們的數學嗎?我們可以證明上帝的存在嗎?為什麼數學家不會算術?

  我竭盡所能的思考這些問題,並且把解答都寫在本書中,這些解答應該是正確的,因為都不是憑空想像的,而是以科學家的角度來探討和回答,並且力求簡單明瞭的說明,避免聽者不知所云,最後引來抱怨:「到底講什麼啊?」

  當然不管是問題的選擇,或是解答的呈現都來自個人的主觀看法,有時候為了把解答說明得清楚具體,一針見血,我確實卯足全力。馮塔納(Theordor Fontane)在他的小說《Stechlin》中寫著:「無庸置疑的真相並不存在,即使有,也太無聊了。」這就是我寫這本書時的座右銘。

  我希望書中解答了所有的問題,萬一讀者還有問題,而且相信我可以幫得上忙,歡迎直接寫信給我:albrecht.beutelspacher@mathematikum.de

 

專家推薦序

我看《小小數學博物館》

文/美國印地安納州普度大學數學哲學博士、台大數學系退休教授 黃敏晃

  小孩對外界總是有許多疑惑,大人也不容易回答得清楚。三十年前,我們的小孩上小學時,台灣有套兒童讀物《十萬個為什麼?》代我回答了很多非數學的問題。數學方面的問題我當然親自上陣處理,所以曾經有朋友請我寫本數學方面的為什麼,但因某種原因並未進行。

  這本書就是這方面的讀物,作者是德國基森的「數學博物館」的館長——阿爾貝希特‧波依許巴赫。他把許多訪客所提的數學問題中,比較單純大眾化的(專業性強的問題當然沒列入)回答,共101則,整理後出版了這本書。

  數學內容討論的材料是數、量、形和關係,所以問題和回答都會有點抽象、形式。書中的數學問題依性質可分成幾種類型,舉例說明如下:

(1)學習型的,如1/2+1/3為什麼是5/6,而不是2/5?為什麼不能除以0?為什麼要背九九乘法表?

  這類問題通常在釐清問題的本質,和所牽涉數學物件的意義後,就能講清楚。

(2)存在形式的,如計算樂透中獎的神祕公式嗎?有計算出質數的公式嗎?每個方程式都有解嗎?真的有四維空間嗎?

  存在性和唯一性常是數學討論的重點,因為數學家認為討論不存在的事物沒有意義,前兩個問題的答案是否定的,許多人太高估了數學的功能,以為數學總能提供公式解決難題,但這種靈丹其實並不存在。至於方程式的解和四維空間的存在,則會出乎許多讀者的意料之外。

  無理數的出現(也可以說是其存在的證明)是數學上有名的故事。在畢氏定定理被證明之前,畢達哥拉斯學派是一個興盛的宗教型學派,信徒捐出所有財產,聚居在某些封閉會所,不和外人往來,會眾大多無法辨識每個人,還要互考能否用尺規作圖方式,畫出五芒星,亦即正五邊形五條對角線形成的圖形,篤信「世界萬物的測量都可由自然數透過單純的運作(如加、減、乘、除、比例等)而得到」,如琴絃在某些自然數之比的長度處,可彈出不同的樂音,就是此派的貢獻。因此,他們常用分數,但在信仰上排斥了「無理數」(非自然數之比的實數)的存在。畢氏定理被證明之後,一個正方形的對角線長是其長邊的根號2倍,而根號2是無理數,此學派便因信仰崩潰而完全瓦解。

(3)某類數學物件是否無限多的問題,如:有無限多的數字嗎?到底有多少質數?有多少分數?有多少無理數?

  這裡牽涉到的無限多,是數學裡所謂的最初級的無限多,意思和自然數一樣多,數都數不完(永遠有一個數比很大很大的數多1,因此沒有最大的自然數)。譬如說,質數有無限多的證明就是靠一樣的邏輯——有限就可以完整的羅列,但全部列出來後,我們總可以找到另一個質數,故質數的數目就有無限多了。

  另外,和無限有關的是,如0.9999……=1嗎?1/2+1/4+1/8+1/16+……=?以及阿基里斯何時能趕上烏龜?的芝諾悖論等牽涉到無限次運作的事務。

  人的生命有限,現代人雖不像古人那樣,人生七十古來稀,但也很少過百歲的人瑞。不管如何,人命有限,無法作無限多次運作。因此,牽涉到無限運作的事務是要另外界定的。如:

1/2+1/4=3/4

1/2+1/4+1/8=7/8

1/2+1/4+1/8+1/16=15/16

…………………………

1/2+1/4+1/8+1/16+……+1/2n=2n-1/2n

  即其結果越來越接近1,所以,數學裡我們界定其結果就是1。

  許多人不能接受這樣的說法,他們覺得0.999……就是比1小那麼一點點,這裡需要用到一點推論來說明了:如果0.999……是一個固定的數,那麼它應該多少呢?

  顯然,它是比1大的數是不對的,而任何比1小的數也不行,因為只要我們取的位數夠多,它就會比這個數大,因此它只能是1。數學的定義常常是這樣子,是人為的,因為數學物件是人造的,而非像熊貓或芒果那樣是天然的。德國數學家Dedekin說過:「數學裡除了1、2、3……等自然數的概念外,其他物件都是數學家造出來的。」

  數學家造出來的東西,其意義當然是他自己界定的。譬如說,40這個形式的符號,它代表什麼樣的數呢?

  我們當然不能隨便亂定,而要回歸到次方的意義:43代表3個4相乘,42代表2個4相乘,41本來是沒有需要的符號(只有1個4,根本沒有相乘的可能),但看到43、42等的界定,把41定義成成4,可以讓下面的指數算則方便運作——若a和b是自然數,則有(下式中的4可以改成其他數)

4a×4b=4a+b,(4a)b=4ab

  那麼,40要定義成怎麼樣的數,才能使上面的指數保持成立呢?答案是40=1。這樣的做法,就是數學裡的「規約觀點」(conventionsim)。讀者以後見多了,就不會覺得奇怪了。

  其他問題筆者就不多談了,讀數學書時不能像小說那樣,順著劇情走,每逢難處就停下來想一想,若需要動筆計算也不要偷懶。因為數學家寫數學文章時,常覺得材料簡單,因此輕輕幾筆帶過,以為別人會跟他一樣清楚。

  另外,本書的作者是德國人,書中難免帶著些許德國味道,譬如問題052:誰是德國最偉大的數學家?問題079提到的「希伯特問題」和問題055「希伯特旅館」中的希伯特,就是非常有名的德國數學家。讀者只要能夠了解這點,此書不失為很好的數學讀物。

                                 台大數學系退休教授 黃敏晃

                                               2014年10月20日

書籍目錄

前言

推薦序

 

趣味篇

一、數字變變變

 

1、機率的計算是什麼時候開始的?

2、1+2+3+……+100=?

3、棋盤上有多少米粒?

4、兩個人同一天生日的機會有多大?

5、2000年前存下100元,現在值多少?

6、我丟10次骰子,可以確定至少有1次是六點嗎?

7、簽中一次大樂透的機會有多少?

8、如何不必抓光全池的魚,就能知道池裡大概有多少魚?

9、什麼是「三門問題」?

10、為什麼負負得正?

11、二項式定理有什麼用途?

12、什麼是「根」?

13、每個方程式都有解嗎?

14、什麼是超越數?

 

二、乾坤大挪移

15、A4紙是多大?

16、每個四邊形都是正方形嗎?

17、哪一種多邊形可以完美接合?

18、為什麼圓或球無法接合?

19、為什麼蜂巢是六角形構圖?

20、為什麼只有5種「柏拉圖立體」?

21、平行線會在無窮處相交嗎?

22、什麼是「非歐幾何」?

23、為什麼對稱比較美?

24、古代有哪些難解的數學問題?

25、「化圓為方」行得通嗎?

26、「畢氏定理」是什麼?

27、空間和數字有什麼關係?

28、我們能了解四維空間嗎?

 

三、腦力激盪

29、最古老的數字是什麼?

30、13是不吉利的數字嗎?

31、人類何時開始運用數字計算?

32、古埃及人怎麼計算的?

33、古羅馬人怎麼計算的?

34、「0」是什麼時候出現的?

35、「0」是偶數嗎?

36、為什麼不能除以「0」?

37、為什麼要學「九九乘法」?

38、一百兆是多少?

39、Googol是什麼?

40、什麼是二進位系統?

41、有無限多的數字嗎?

42、為什麼2+2=4?

43、到底有多少個質數?

44、有任何質數的方程式嗎?

45、1/2+1/3等於多少?

46、到底有多少分數?

47、有無理數嗎?

48、無理數有多少個?

 

挑戰篇

四、怪怪數學家

49、為什麼數學家不會算術?

50、為什麼數學家怪怪的?

51、有史以來最偉大的數學家是誰?

52、誰是德國最偉大的數學家?

53、女性天生數學就比較差嗎?

54、為什麼諾貝爾獎中沒有數學獎?

55、什麼是「希伯特的旅館」?

56、數學家需要直覺和想像嗎?

57、為什麼要學數學?

58、為什麼數學令人害怕

59、為什麼數學這麼難?

60、一定要有公式嗎?

61、數學可以速成嗎?

62、為什麼數學這麼難學?

 

五、能力大考驗

63、阿基里斯何時趕上烏龜?

64、0.999……=1對嗎?

65、無窮數可以加總嗎?

66、我們如何利用數學理解移動?

67、什麼是指數函數?

68、對數有什麼用途?

69、要知道幾點才能得知一個函數的全貌?

70、數學可以應用在哪裡?

71、數學也是軍事科學嗎?

72、有計算復活節是哪一天的公式嗎?

73、電腦改變了數學?

74、數學問題的難度可以測量嗎?

75、檢驗答案比找出答案簡單嗎?

76、數學和音樂有關係嗎?

77、在數學裡還有什麼要研究的嗎?

78、為什麼「問題」很重要?

79、什麼是「希伯特的問題」?

80、什麼是「100萬元的難題」?

81、什麼是「3n+1難題」?

82、我們可以證明一切嗎?

83、數學裡沒有矛盾嗎?

 

六、尋找數學的真相

    84、什麼是數學?

    85、什麼時候開始有數學的?

    86、第一本數學書是什麼?

    87、什麼是「點」

    88、什麼是證明?

    89、什麼是公理?

    90、我們怎麼證明不存在東西?

    91、數學是自然還是人文科學?

    92、為什麼數學這麼抽象?

    93、是畢達哥拉斯發明了畢氏定理嗎?

    94、什麼是「費馬最後定理」?

    95、為什麼我們需要「複數」?

96、數字本身有意義嗎?

97、動物會算數嗎?

98、最美的公式是什麼?

99、我們可以證明上帝的存在嗎?

100、數學概念是被「發現」或是「發明」的?

    101、外星人可以了解我們的數學嗎?

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