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彗星般的天才數學家—拉馬努金


彗星般的天才數學家—拉馬努金

《天才無限家》劇照,威視電影提供

三歲還不會說話,有史以來最神奇的天才數學家-拉馬努金,兒時曾被認為是智力遲緩。從未受過正規教育的他,自學成才,在備受歧視的年代,離開印度家鄉獨自前往英國求學,獲得劍橋大學哈代教授的賞識。 上個月26日是印度天才數學家拉馬努金的忌日。就在本月27日,描寫拉馬努金一生的傳記電影【天才無限家】即將上映。在此僅用這篇文章介紹與紀念這個雖像慧星一樣一閃即逝,但耀眼的光芒到現在仍然閃耀的天才數學家。

1913年春天,當時全世界最好的數學家之一, 英國劍橋大學的戈弗雷‧哈羅德‧哈代(G.H. Hardy) 接到了遠從印度寄來的,郵戳 1月16日,一封厚厚的信。開頭寫著:「敬愛的教授,我是馬德拉斯的一個職員,現年23歲。這些是我的發現,可以幫我看看嗎。」接下來是一長串的十多個數學公式,只有式子,沒有前後文,沒有理由。

貌似無厘頭的式子寫滿了九張信紙。哈代一開始以為是惡作劇。但是愈仔細看信就愈看愈怪—這些式子好像都是對的。不僅如此,有好多個式子他從沒看過;更誇張的是,連他也無法證明!驚愕之餘哈代找來他的數學家好友約翰‧恩瑟‧李特爾伍德(John Edensor Littlewood) 一起端詳這九頁的信。他們的結論是,這是一個不世出的天才。

2月8日,哈代回信,邀請這個神秘的天才年輕人到英國來討論數學。

這個寄信的年輕人叫斯里尼瓦瑟‧拉馬努金 (Srinivasa Ramanujan),有史以來最神奇的天才數學家。

1913年距今一百多年。那時沒有電子郵件,沒有行動電話,沒有民航機。遠渡重洋,就要遠離家人,遠離年輕的妻子與年邁的母親,遠離過去,遠離熟悉的一切。幾經周折,女神在夢中說服了拉馬努金的母親。拉馬努金終究離開印度,踏上未知的路。

到了英國,拉馬努金隨即面臨巨大的衝擊。以數學的角度來看,一個式子不管看起來再怎麼奇妙,一定要有證明才能保證正確。但是拉馬努金沒有受過完整的高等數學訓練,在印度幾乎全憑直覺與自學,他不覺得“把證明寫下來”是一件重要的事。因此他在英國等於要重頭開始,他花了許多心力熟悉數學的語言。皇天不負苦心人,拉馬努金和哈代不久就合作寫出一篇傑作。

這是連幼稚園小朋友都懂的問題。如果只能用整數和加號,有多少種方法可以湊成4?答案有五種。

4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1

(順序不計,3+1 和1+3當作同一種)讀者可以現在試試,有七種方法可以湊出5。

這裡挑戰一下讀者,若湊成10有多少方法?答案放在文末。

是的,慢慢試好像還是可以得到答案。但很快地情況就難以控制了。你無法想像湊成100有190569292, 超過一億九千萬個方法!那有多少方法可以湊成1000, 或更大的數?歷代數學家完全束手無策,但這又是數學上根本的重要問題。哈代和拉馬努金得到了估計公式,用他們的公式得到的答案與精確值的相對誤差可以接近到零。電影【天才無限家】生動描述了用他們的公式估計出湊出200的方法數是如何震攝了數學界。

這篇劃時代的論文讓拉馬努金一夕成為最頂尖的數學家之一。他和哈代再接再厲, 合寫了許多文章,每一篇都擲地有聲。1918年,拉馬努金被選為英國皇家學會會士與劍橋大學三一學院院士。

但命運之神就是這樣捉弄人。 印度四季酷熱,英國冬天濕冷。拉馬努金吃素,但正值一次大戰的英國蔬菜短缺。營養不良、不適應天氣,加上思鄉,拉馬努金病倒了,醫生診斷是嚴重的肺結核和維生素缺乏。1919年,他決定回家。回到印度後不到一年,拉馬努金就過世了,得年32歲。

拉馬努金研究的領域是「數論」與「組合數學」。數論是研究整數的學問,而組合數學也稱為離散數學,在電腦科學上有著廣泛的應用,同時也是密碼學,人工智慧、資料庫、演算法設計與分析的理論基礎。他發表的論文包含了許多嶄新的原創想法,對數學和物理的理論推展發展有巨大的貢獻。身後留下的幾百頁的筆記本中有數以百計的式子,到現在仍然迷惑著數學家。數學界甚至有個高品質的學術期刊,就叫做拉馬努金期刊,刊登與拉馬努金的研究有關的論文。

就在這個月27日,描寫他一生的傳記電影【天才無限家】 (The Man Who Knew Infinity) 即將上映,在此僅用這篇文章紀念這個雖像慧星一樣一閃即逝,但耀眼的光芒到現在仍然閃耀的天才數學家。

(文中問題的答案:湊成 10 共有 42 種方法。很不好算吧!)

【天才無限家】預告搶先看↓

 

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